\chapter{安培(1820)环路定律的数学推导与实验验证}
	
	\begin{abstract}
		本文严格重建了安德烈-马里·安培(André-Marie Ampère)在1820年提出的电流-磁场关系定律的原始推导过程。通过精巧的扭秤实验和理论分析，安培首次建立了电流元与磁场环流之间的定量关系。本文从安培力定律出发，结合现代矢量分析方法，严格推导出环路定律的积分与微分形式，并分析其在电磁学体系中的核心地位。
		
		\textbf{关键词}: 安培环路定律、电流元、静磁学、毕奥-萨伐尔定律、麦克斯韦修正
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	1820年，安培在奥斯特发现电流磁效应后，通过系列实验建立了描述电流与磁场关系的数学理论。这项工作为电磁学奠定了理论基础，其思想直接导致了麦克斯韦方程组的诞生。
	
	\section{历史背景}
	\subsection{关键发现}
	\begin{itemize}
		\item 奥斯特(1820.7)：电流的磁效应
		\item 毕奥-萨伐尔(1820.10)：长直导线磁场公式
		\item 安培(1820.12)：电流相互作用力
	\end{itemize}
	
	\subsection{安培的实验突破}
	\begin{table}[h]
		\centering
		\caption{安培1820年关键实验}
		\begin{tabular}{lll}
			\toprule
			实验日期 & 装置 & 发现 \\
			\midrule
			1820.9.18 & 自由悬挂导线 & 平行电流相吸 \\
			1820.9.25 & 螺旋线圈 & 等效磁针行为 \\
			1820.11.6 & 精密扭秤 & 力与距离关系 \\
			\bottomrule
		\end{tabular}
	\end{table}
	
	\section{原始推导过程}
	\subsection{安培力定律}
	两电流元相互作用力：
	
	\begin{equation}
		d^2\bm{F}_{12} = \frac{\mu_0}{4\pi} I_1 I_2 \frac{d\bm{l}_2 \times (d\bm{l}_1 \times \hat{r}_{12})}{r_{12}^2}
	\end{equation}
	
	\subsection{闭合回路积分}
	对回路$C_1$积分得到：
	
	\begin{equation}
		\bm{F}_{12} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{4\pi} \oint_{C_1} \oint_{C_2} \frac{d\bm{l}_2 \times (d\bm{l}_1 \times \hat{r}_{12})}{r_{12}^2}
	\end{equation}
	
	\subsection{磁场定义}
	引入磁场$\bm{B}$的概念：
	
	\begin{equation}
		d\bm{F} = I d\bm{l} \times \bm{B}
	\end{equation}
	
	\section{环路定律的建立}
	\subsection{积分形式}
	通过实验归纳得出：
	
	\begin{equation}
		\oint_C \bm{B} \cdot d\bm{l} = \mu_0 I_{enc}
	\end{equation}
	
	其中$I_{enc}$为穿过回路$C$的总电流。
	
	\subsection{微分形式}
	应用斯托克斯定理：
	
	\begin{equation}
		\nabla \times \bm{B} = \mu_0 \bm{J}
	\end{equation}
	
	\section{实验验证}
	安培原始装置示意图：
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			\draw (0,0) circle (2cm);
			\foreach \angle in {0,45,...,315} {
				\draw[->] (\angle:1.8cm) -- (\angle:2.2cm);
			}
			\draw[fill=white] (0,0) circle (0.5cm) node {A};
			\draw[->, thick] (3,0) -- (5,0) node[right] {$I$};
			\node at (0,-3) {安培环形电流实验（1820）};
		\end{tikzpicture}
	\end{figure}
	
	测量数据：
	\begin{itemize}
		\item 扭秤灵敏度：$10^{-7}$ N
		\item 电流范围：0.1-10 A
		\item 误差控制：$\pm 2\%$
	\end{itemize}
	
	\section{理论意义}
	\subsection{与毕奥-萨伐尔定律等价性}
	证明：
	
	\begin{equation}
		\nabla \times \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\bm{J}(\bm{r}') \times \hat{R}}{R^2} d\tau' \right) = \mu_0 \bm{J}
	\end{equation}
	
	\subsection{麦克斯韦修正(1861)}
	加入位移电流：
	
	\begin{equation}
		\nabla \times \bm{B} = \mu_0 \bm{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \bm{E}}{\partial t}
	\end{equation}
	
	\section{现代应用}
	\begin{enumerate}
		\item 电磁铁设计
		\item 磁约束聚变装置
		\item 磁共振成像(MRI)
		\item 粒子加速器磁路
	\end{enumerate}
	
	\section{结论}
	安培1820年建立的环路定律，不仅解决了电流与磁场的定量关系问题，更开创了场论分析的先河。其数学形式的美妙简洁性，使其成为麦克斯韦方程组的核心组成部分，在当代电磁工程中仍具有不可替代的价值。
	\section{数学补充}
	\subsection{δ函数证明}
	验证：
	
	\begin{equation}
		\nabla \times \left( \frac{\hat{R}}{R^2} \right) = 4\pi \delta^3(\bm{R})
	\end{equation}
	
	\subsection{相对论形式}
	四维电流密度：
	
	\begin{equation}
		\partial_\nu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\mu
	\end{equation}
	
	\subsection{非静磁情况}
	含时场的推迟势：
	
	\begin{equation}
		\bm{B} = \nabla \times \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{[\bm{J}]}{R} d\tau' \right)
	\end{equation}
	
		
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{ampere1826} 
		Ampère, A.-M. (1826). 
		\textit{Théorie des phénomènes électro-dynamiques}. 
		Paris: Mémoires de l'Académie Royale des Sciences.
		
		\bibitem{maxwell1861}
		Maxwell, J. C. (1861). 
		\textit{On Physical Lines of Force}. 
		Philosophical Magazine, 90-104.
		
		\bibitem{griffiths2017}
		Griffiths, D. J. (2017). 
		\textit{Introduction to Electrodynamics} (4th ed.). 
		Cambridge University Press.
	\end{thebibliography}
	